Дано:
- Треугольник ABC с основанием BC.
- В треугольник вписана окружность.
- Точка касания окружности с основанием BC обозначена как D.
- Отрезок AD соединяет точку касания D с противоположной вершиной A.
- Углы между отрезком AD и сторонами AB и AC равны α и β соответственно.
Найти:
- Косинус острого угла φ между отрезком AD и основанием BC.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков следующим образом:
- BD = s - b (где s - полупериметр треугольника, b - длина стороны BC)
- DC = s - a (где a - длина стороны BC)
2. Поскольку точка D - это точка касания, то отрезок AD перпендикулярен к касательной в точке D.
3. Воспользуемся тем фактом, что сумма углов у треугольника на основании D равна 180°. Таким образом:
∠BAD = 180° - α - β
4. Внутренний угол треугольника у основания равен углу α и β.
5. Для нахождения косинуса угла φ, нужно использовать косинусные теоремы для треугольников ABD и ACD. Однако наиболее простым способом является использование формулы для косинуса угла между отрезком AD и основанием BC:
Косинус угла φ можно найти через значения α и β. Сначала находим угол γ, равный разности 180° минус α и β:
γ = 180° - α - β
6. По формуле косинуса для треугольника:
cos φ = cos γ
Поскольку:
cos γ = cos (180° - α - β) = -cos (α + β)
7. Таким образом:
cos φ = -cos (α + β)
Ответ:
Косинус острого угла φ между отрезком AD и основанием BC равен -cos(α + β).