дано:
- Треугольник ABC.
- Сторона c (которая параллельна проведенной прямой).
- Две другие стороны a и b.
найти:
Длину отрезка, заключенного между сторонами треугольника, если к параллельной стороне равна c.
решение:
1. По теореме о подобии треугольников, проведя прямую через центр вписанной окружности, мы получаем два подобных треугольника: один из них - большой треугольник ABC, а другой - меньший треугольник, образованный новой проведенной прямой и боковыми сторонами a и b.
2. Поскольку прямая параллельна стороне c, то по свойству подобия треугольников длины соответствующих сторон пропорциональны.
3. Отношение длин будет равно отношению высоты от вершины A до стороны c к высоте от вершины A до параллельной прямой. Обозначим длину отрезка, заключённого внутри треугольника, как x.
4. Используем отношение длин:
x / c = h' / h,
где h' - высота до параллельной прямой, h - высота до стороны c.
5. Высота h выражается как:
h = 2*S / c,
где S - площадь треугольника.
6. Площадь треугольника можно выразить через полупериметр p и стороны a, b и c:
S = sqrt(p * (p-a) * (p-b) * (p-c)),
где p = (a + b + c) / 2.
7. Таким образом, мы можем выразить h' аналогичным образом через сторону c и стороны a и b:
h' = 2*S' / c,
где S' - площадь меньшего треугольника.
8. Площадь меньшего треугольника S' также можно выразить через его высоту и основание (c), но в данном случае эта величина уходит в упрощения.
9. Пропорция становится:
x = c * (h' / h).
10. Подставляя формулы для h и h', мы получаем:
x = c * (S' / S).
ответ:
Отрезок данной прямой, заключенный внутри треугольника, равен c * (r / (r + s)), где r - радиус вписанной окружности, а s - расстояние от центра окружности до стороны c.