Дано: треугольник ABC с прямым углом в C. CH — высота из C, CL — биссектрисса в треугольнике ACH. Прямая, проходящая через точку B и параллельная CL, пересекает CH в точке K.
Найти: доказать, что прямая KL делит катет AC пополам.
Решение:
1. Поскольку CL — биссектрисса в треугольнике ACH, она делит угол ACD пополам. Так как KL || CL, то угол KLC = угол ALC (параллельные прямые и соответственные углы).
2. Поскольку CL и KL параллельны, угол KLC равен углу ALC. Таким образом, треугольник KLC подобен треугольнику ALH по углам.
3. Также прямой B проходит через точку B и параллельна CL, то отрезок KB делит высоту CH на отрезки, пропорциональные соответствующим отрезкам треугольника ACH.
4. Используя свойство подобных треугольников, можно утверждать, что отрезок KL делит катет AC на два равных отрезка, поскольку линии KL и CL параллельны и они пересекаются с высотой CH.
Ответ: Прямая KL делит катет AC пополам.