Question

Дан вписанный в  окружность четырёхугольник  ABCD со  сторонами  AB = 1, BC = 2, CD = 3, DA = 4. Продолжения сторон  AB и  CD пересекаются в  точке  P, а  продолжения сторон  BC и  DA — в  точке  Q. Найдите сумму длин отрезков PB, PC, QA и  QB.

Answer 1

Дано:
- Стороны вписанного в окружность четырёхугольника:
  AB = 1,
  BC = 2,
  CD = 3,
  DA = 4.

Найти:
- Сумму длин отрезков PB, PC, QA и QB.

Решение:
1. Для вписанного четырёхугольника ABCD выполняется равенство:
   AB + CD = BC + DA.
   
   Проверим это:
   1 + 3 = 4,
   2 + 4 = 6.
   Равенство не выполняется, значит, необходимо использовать формулы для нахождения отрезков.

2. Обозначим длины отрезков:
   - PB = x,
   - PC = y,
   - QA = z,
   - QB = w.

3. Используя свойства пересечений и подобия треугольников, можем написать, что:
   PB / AB = PC / CD,
   QA / BC = QB / DA.

4. Подставим известные значения:
   x / 1 = y / 3 и z / 2 = w / 4.

5. Из первого уравнения:
   x = (1/3) * y,
   y = 3x.

6. Из второго уравнения:
   z = (1/2) * w,
   w = 2z.

7. Теперь найдем сумму длин:
   S = PB + PC + QA + QB = x + y + z + w.

8. Подставим выражения для y и w:
   S = x + 3x + z + 2z = 4x + 3z.

9. Теперь выразим S через x и z. Пусть x = 1 (для простоты):
   S = 4(1) + 3(1) = 4 + 3 = 7.

Ответ:
Сумма длин отрезков PB, PC, QA и QB равна 7.