Дано:
- Боковые стороны равнобедренного треугольника равны a.
- Длина хорды, проведенной через вершину треугольника, равна b.
Найти:
- Длину отрезка этой хорды, лежащего в треугольнике.
Решение:
1. Обозначим треугольник ABC, где AB и AC — боковые стороны, а BC — основание. Хорда DE проведена через вершину A и пересекает основание BC.
2. Установим координаты:
- Пусть A(0, h), B(-x, 0), C(x, 0), где высота h будет равна r (радиусу вписанной окружности).
3. Угол между боковыми сторонами и основанием можно обозначить как θ.
4. Поскольку треугольник равнобедренный и вписанный в окружность, длина хорды DE можно выразить через угол θ:
DE = 2 * r * sin(θ/2).
5. Так как DE = b, у нас есть уравнение:
b = 2 * r * sin(θ/2).
6. Чтобы найти отношение между длиной хорды и длиной отрезка, который лежит в треугольнике, рассмотрим высоту, опущенную из точки A на основание BC. Обозначим точку пересечения как M.
7. Длина отрезка хорд, лежащего в треугольнике (AM), равна:
AM = DE * (h / r).
8. С учетом того, что h = a * sin(θ), подставим значение:
AM = b * (a * sin(θ) / r).
9. Так как r = a * cos(θ) (по свойству треугольника):
AM = b * (a * sin(θ) / (a * cos(θ))) = b * tan(θ).
Ответ:
Длина отрезка хорды, лежащего в треугольнике, равна b * tan(θ).