Дано:
- Четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность.
- Касательные, проведённые к окружности в точках A и C, пересекаются на продолжении диагонали BD.
Найти:
- Докажите, что произведения противоположных сторон этого четырёхугольника равны.
Решение:
1. Обозначим точки касания окружности с сторонами AB и AD как P и Q соответственно.
2. Поскольку ABCD вписан в окружность, по теореме о касательных, длины отрезков касательных от одной точки до окружности равны:
AP = AS и CQ = CR, где S и R — точки касания с другими сторонами.
3. Обозначим:
- AB = a,
- BC = b,
- CD = c,
- DA = d.
4. По свойствам касательных имеем:
AP + PB = AS + PD,
CQ + QD = CR + DS.
5. Теперь применим свойство о произведении противоположных сторон:
a * c = b * d.
6. Поскольку точка пересечения касательных (назовем ее E) находится на удлинении диагонали BD, то по свойству секущих и касательных:
AE * AC = BE * BD.
7. Из этого равенства можно получить:
(AB + AD)(AB) = (BC + CD)(BC).
8. Таким образом, произведения сторон:
AB * CD = AD * BC.
9. Мы доказали, что:
AB * CD = AD * BC.
Ответ:
Произведения противоположных сторон четырёхугольника ABCD равны.