Дано:
- Два коллинеарных вектора A и B с координатами A(a1; a2) и B(b1; b2).
Найти:
- Скалярное произведение векторов A и B через их координаты.
Решение:
1. Формула для скалярного произведения двух векторов выражается как:
A • B = a1 * b1 + a2 * b2
2. Если векторы A и B коллинеарны, это означает, что один из них является масштабированным вариантом другого. То есть существует такое число k, что:
B = k * A
3. Запишем координаты вектора B через вектор A:
b1 = k * a1
b2 = k * a2
4. Подставим эти выражения в формулу для скалярного произведения:
A • B = a1 * (k * a1) + a2 * (k * a2)
5. Упростим:
A • B = k * (a1² + a2²)
6. Поскольку a1² + a2² представляет собой квадрат длины вектора A (обозначим его ||A||²), то мы можем записать:
A • B = k * ||A||²
7. Таким образом, скалярное произведение двух коллинеарных векторов A и B может быть выражено через координаты векторов A и B следующим образом:
A • B = k * ||A||², где k — скалярный коэффициент, описывающий размер отношения между векторами A и B.
Ответ:
Скалярное произведение двух коллинеарных векторов A и B выражается как A • B = k * ||A||², где k — коэффициент пропорциональности между векторами.