дано:
Правильный пятиугольник вписан в окружность радиуса 1. Центр окружности совпадает с центром пятиугольника. Вершины пятиугольника можно задать координатами: A(cos(0), sin(0)), B(cos(2π/5), sin(2π/5)), C(cos(4π/5), sin(4π/5)), D(cos(6π/5), sin(6π/5)), E(cos(8π/5), sin(8π/5)). Пусть точка P(x, y) — произвольная точка на окружности.
найти:
Сумма квадратов расстояний от точки P до вершин пятиугольника: S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 + PE^2.
решение:
Расстояния от точки P до вершин пятиугольника:
1. PA = √((x - cos(0))^2 + (y - sin(0))^2) = √((x - 1)^2 + y^2)
2. PB = √((x - cos(2π/5))^2 + (y - sin(2π/5))^2)
3. PC = √((x - cos(4π/5))^2 + (y - sin(4π/5))^2)
4. PD = √((x - cos(6π/5))^2 + (y - sin(6π/5))^2)
5. PE = √((x - cos(8π/5))^2 + (y - sin(8π/5))^2)
Теперь найдем сумму квадратов расстояний:
S = PA^2 + PB^2 + PC^2 + PD^2 + PE^2
= ((x - 1)^2 + y^2) + ((x - cos(2π/5))^2 + (y - sin(2π/5))^2) + ((x - cos(4π/5))^2 + (y - sin(4π/5))^2) + ((x - cos(6π/5))^2 + (y - sin(6π/5))^2) + ((x - cos(8π/5))^2 + (y - sin(8π/5))^2)
Раскроем скобки для каждого расстояния:
S = (x^2 - 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 2x cos(2π/5) + cos^2(2π/5) + y^2 - 2y sin(2π/5) + sin^2(2π/5)) + (x^2 - 2x cos(4π/5) + cos^2(4π/5) + y^2 - 2y sin(4π/5) + sin^2(4π/5)) + (x^2 - 2x cos(6π/5) + cos^2(6π/5) + y^2 - 2y sin(6π/5) + sin^2(6π/5)) + (x^2 - 2x cos(8π/5) + cos^2(8π/5) + y^2 - 2y sin(8π/5) + sin^2(8π/5))
Соберем все вместе:
S = 5x^2 + 5y^2 - 2x(1 + cos(2π/5) + cos(4π/5) + cos(6π/5) + cos(8π/5)) - 2y(sin(0) + sin(2π/5) + sin(4π/5) + sin(6π/5) + sin(8π/5)) + (1 + cos^2(2π/5) + cos^2(4π/5) + cos^2(6π/5) + cos^2(8π/5) + sin^2(2π/5) + sin^2(4π/5) + sin^2(6π/5) + sin^2(8π/5))
Из свойств косинусов и синусов пятиугольника знаем, что сумма косинусов и синусов по углам равна нулю:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5.
Итак, S = 5 + 5 = 5.
ответ:
Сумма квадратов расстояний от произвольной точки на окружности до вершин пятиугольника равна 5.