дано:
Вершины треугольника: A(9; 2), B(0; -10), C(-7; 14).
Центр окружности: I(2; 1).
найти:
Уравнение окружности.
решение:
1. Уравнение окружности имеет вид:
(x - x0)² + (y - y0)² = R², где (x0, y0) — координаты центра, R — радиус.
2. Координаты центра окружности I(2; 1).
3. Найдем радиус R, определив расстояние от центра I до одной из сторон треугольника. Для этого сначала найдем длины сторон треугольника.
- Сторона AB:
длина AB = √((9 - 0)² + (2 - (-10))²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15.
- Сторона BC:
длина BC = √((0 - (-7))² + (-10 - 14)²) = √(7² + (-24)²) = √(49 + 576) = √625 = 25.
- Сторона CA:
длина CA = √((-7 - 9)² + (14 - 2)²) = √((-16)² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20.
4. Полупериметр треугольника:
p = (AB + BC + CA) / 2 = (15 + 25 + 20) / 2 = 30.
5. Площадь треугольника (по формуле Герона):
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA)).
S = √(30 * (30 - 15) * (30 - 25) * (30 - 20)) = √(30 * 15 * 5 * 10) = √(2250) = 15√10.
6. Радиус вписанной окружности:
R = S / p = (15√10) / 30 = √10 / 2.
7. Подставим значения в уравнение окружности:
(x - 2)² + (y - 1)² = (√10 / 2)².
8. Упростим уравнение:
(x - 2)² + (y - 1)² = 10 / 4 = 2.5.
ответ:
Уравнение окружности: (x - 2)² + (y - 1)² = 2.5.