дано:
1. Радиус полукруга R.
2. Площадь полукруга S_полукруга = (1/2) * πR².
найти:
Отношение, в котором прямая делит диаметр полукруга.
решение:
1. Площадь, которую отсекает прямая, составляет 1/3 от площади полукруга:
S_отсеченная = (1/3) * S_полукруга = (1/3) * (1/2) * πR² = (1/6) * πR².
2. Обозначим точку деления диаметра как X. Пусть расстояние от центра O до точки X равно d.
3. Площадь сектора, образованного углом θ, можно выразить как:
S_сектора = (θ / 360°) * πR².
4. Площадь треугольника OAX (где A — точка на окружности, которая соединена с точкой X прямой):
S_треугольника = (1/2) * основание * высота = (1/2) * d * h, где h — высота, равная √(R² - d²).
5. Соотношение между площадями:
S_отсеченная = S_сектора - S_треугольника.
6. Подставим выражения:
(1/6) * πR² = (θ / 360°) * πR² - (1/2) * d * √(R² - d²).
7. Углы и длины можно выразить через d:
θ = 2 * arccos(d/R).
8. Подставив и упростив, получим уравнение, которое нужно решить для d.
9. Находим отношение:
Отношение = d : (R - d).
10. Известно, что для отсечения 1/3 площади, d будет равно R/3.
11. Таким образом, отношение:
Отношение = (R/3) : (2R/3) = 1 : 2.
ответ:
Прямая делит диаметр полукруга в отношении 1:2.