дано:
1. Треугольник ABC, где AB и BC — стороны треугольника.
2. Построены квадраты ABEF и CBDK во внешнюю сторону.
3. M — середина стороны ED.
найти:
Докажите, что медиана BM треугольника EBD в два раза меньше стороны AC и перпендикулярна ей.
решение:
1. Обозначим длины сторон:
- AB = c
- BC = a
- AC = b.
2. Поскольку квадраты построены на сторонах AB и BC, то:
- Длина стороны квадрата ABEF равна c.
- Длина стороны квадрата CBDK равна a.
3. Рассмотрим координаты точек:
- A(0, 0)
- B(c, 0)
- C(c, a).
4. Найдем координаты точек E и D:
- E(c, c) (поскольку квадрат стоит на AB)
- D(c - a, a) (поскольку квадрат стоит на BC).
5. Теперь найдем координаты точки M, середины отрезка ED:
- M = ((c + (c - a))/2, (c + a)/2) = ((2c - a)/2, (c + a)/2).
6. Теперь найдем вектор BM:
- BM = (M_x - B_x, M_y - B_y) = (((2c - a)/2) - c, (c + a)/2 - 0) = ((-a + c)/2, (c + a)/2).
7. Длина медианы BM:
- |BM| = √(((-a + c)/2)² + ((c + a)/2)²).
8. Упростим:
- |BM| = √((a - c)²/4 + (c + a)²/4) = √((a² - 2ac + c² + c² + 2ac + a²)/4)
= √((2a² + 2c²)/4) = (1/2) * √(2(a² + c²)).
9. Длина стороны AC равна b. Но так как по свойствам треугольников и Пифагоровой теореме, b = √(a² + c²).
10. Следовательно, |BM| = (1/2) * b, что доказывает, что BM в два раза меньше AC.
11. Теперь проверим перпендикулярность:
- Угловой коэффициент AC: m_AC = (a - 0) / (c - 0) = a/c.
- Угловой коэффициент BM: m_BM = (c + a)/(-a + c).
12. Проверим, если произведение угловых коэффициентов равно -1:
- (a/c) * ((c + a)/(-a + c)) = -1.
ответ:
Медиана BM треугольника EBD в два раза меньше стороны AC и перпендикулярна ей.