Дано:
1. Эллипс определяется как множество точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух фокусных точек F1 и F2 постоянна и равна 2a, где a - полурадиус.
Найти:
Докажите, что эллипс имеет две оси симметрии, которые перпендикулярны друг другу.
Решение:
1. Пусть F1 и F2 — фокусы эллипса, расположенные на оси X в точках (-c, 0) и (c, 0) соответственно, где c < a.
2. Уравнение эллипса в канонической форме:
(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1,
где b = √(a^2 - c^2).
3. Оси симметрии эллипса:
- Горизонтальная ось (ось X).
- Вертикальная ось (ось Y).
4. Доказательство симметрии относительно осей:
- Если точка P(x, y) принадлежит эллипсу, то P'(-x, y) тоже принадлежит эллипсу, так как сумма расстояний до F1 и F2 остается постоянной.
- Аналогично, для точки P''(x, -y) сумма расстояний также останется постоянной.
5. Следовательно, эллипс симметричен относительно оси X и оси Y.
6. Угол между осями X и Y равен 90°, что подтверждает, что эти оси перпендикулярны друг другу.
Ответ:
Эллипс имеет две оси симметрии, которые перпендикулярны друг другу, что и требовалось доказать.