Дано:
- Четырехугольник ABCD, у которого противоположные стороны попарно равны: AB = CD и BC = AD.
Найти:
- Доказать, что диагонали AC и BD делятся точкой пересечения пополам.
Решение:
1. Пусть точки пересечения диагоналей AC и BD обозначены как O.
2. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Поскольку противоположные стороны четырехугольника попарно равны, имеем:
- AB = CD (по условию),
- BC = AD (по условию).
3. В треугольниках AOB и COD:
- AB = CD (по условию),
- BO = DO (если докажем это, то AO = CO также будет доказано по симметрии).
4. Применим теорему о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними. Чтобы доказать равенство треугольников AOB и COD, рассмотрим следующие параметры:
- AO = CO (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними, если AOB и COD равны).
5. Треугольники AOB и COD имеют равные стороны AB и CD, и также BO = DO и AO = CO, соответственно.
6. Это доказывает, что диагонали пересекаются в такой точке, что делятся пополам.
Ответ:
Диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.