Дано:
- Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC.
- Высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, обозначим их как h1 и h2 соответственно.
Найти:
- Доказать, что высоты h1 и h2 равны.
Решение:
1. В равнобедренном треугольнике ABC высоты, проведенные к боковым сторонам AB и AC, также являются медианами и биссектрисами.
2. Проведем высоту из вершины C к основанию AB и обозначим её как h1. Эта высота делит основание AB на две равные части, поскольку треугольник равнобедренный, и обозначим точку пересечения как D.
3. Проведем высоту из вершины B к основанию AC и обозначим её как h2. Эта высота делит основание AC на две равные части, и обозначим точку пересечения как E.
4. Из-за симметрии равнобедренного треугольника, высоты, проведенные из вершины на боковые стороны, также являются равными. Это следует из того, что высоты, медианы и биссектрисы совпадают в равнобедренном треугольнике.
5. Поскольку треугольники ACD и BCE являются прямоугольными и подобными (по признаку равенства углов и по прямому углу), а также так как AB = AC, соответственно высоты, проведенные к этим боковым сторонам, будут равны.
Ответ:
Высоты, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.