Дано:
- Прямоугольный треугольник с углами α, β и 90°, где один из острых углов в два раза больше другого.
- Катеты прямоугольного треугольника обозначены как a и b, гипотенуза - c.
Найти:
- Доказать, что один из катетов в два раза короче гипотенузы.
Решение:
1. Обозначим острые углы треугольника как α и β. Так как один угол в два раза больше другого, можно записать: α = 2β.
2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Следовательно,
α + β = 90°.
Подставим α = 2β:
2β + β = 90°,
3β = 90°,
β = 30°,
α = 2β = 60°.
3. Таким образом, углы прямоугольного треугольника равны 30°, 60° и 90°.
4. В треугольнике с углами 30°, 60° и 90° катеты и гипотенуза связаны следующим образом:
- Катет, противоположный углу 30°, равен половине гипотенузы.
- Катет, противоположный углу 60°, равен гипотенузе, умноженной на корень из трех делённый на 2.
5. Обозначим катет, противоположный углу 30°, как a и гипотенузу как c. По свойствам треугольника:
a = c / 2.
6. Проверим, если катет, противоположный углу 60°, обозначить как b, то:
b = c * √3 / 2.
7. Таким образом, мы видим, что один из катетов (катет, противоположный углу 30°) равен половине гипотенузы. Это означает, что один из катетов действительно в два раза короче гипотенузы.
Ответ:
Один из катетов прямоугольного треугольника, где один из острых углов в два раза больше другого, равен половине гипотенузы.