Дано:
- Четырехугольник ABCD.
- Угол D прямой (угол D равен 90 градусов).
Найти:
- Доказать, что CD < AB + BC.
Решение:
1. Обозначим угол D как прямой угол. В четырехугольнике ABCD угол D равен 90 градусов.
2. Так как угол D прямой, четырехугольник ABCD можно разбить на два треугольника: △ABD и △BCD.
3. Рассмотрим треугольник △BCD. В этом треугольнике угол C равен 90 градусов, так как угол D в четырехугольнике прямой, и поэтому треугольник △BCD является прямоугольным треугольником с прямым углом в точке C.
4. В прямоугольном треугольнике справедливо следующее неравенство, известное как неравенство треугольника:
В любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей стороны.
В треугольнике △BCD это означает, что:
BD + BC > CD
BD + CD > BC
BC + CD > BD
5. Поскольку CD является одной из сторон треугольника △BCD, мы можем записать следующее:
CD < BD + BC
6. Теперь рассмотрим треугольник △ABD. Угол D прямой, и он тоже является прямоугольным треугольником. Неравенство треугольника также справедливо для этого треугольника:
AB + BD > AD
AB + AD > BD
BD + AD > AB
Поскольку AD является частью четырёхугольника ABCD, в том числе и может быть рассмотрено в комбинации с другими сторонами.
7. Теперь объединим результат. В данном случае мы хотим показать, что CD < AB + BC. Поскольку CD является одной из сторон треугольника △BCD, справедливо неравенство:
CD < BD + BC
Но поскольку BD и AB + BC образуют больший отрезок, чем просто одна сторона треугольника, это утверждение сохраняется.
Ответ:
Таким образом, для четырехугольника ABCD с прямым углом D верно, что CD < AB + BC.