Дано:
Выпуклый четырехугольник ABCD, в котором нет параллельных сторон.
Найти:
Местоположение точки, которая одновременно равноудалена от двух пар противоположных сторон, и количество таких точек.
Решение:
1. Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD. Нам нужно найти точку, которая равноудалена от двух пар противоположных сторон, например, от сторон AB и CD, а также от сторон BC и DA.
2. Обозначим точку, которая равноудалена от сторон AB и CD, как P. Эта точка лежит на биссектрисе угла между этими двумя сторонами. Следовательно, расстояние от точки P до сторон AB и CD одинаково.
3. Аналогично, точка Q, которая равноудалена от сторон BC и DA, будет находиться на биссектрисе угла между этими двумя сторонами.
4. Для того чтобы точка была равноудалена от обеих пар противоположных сторон, она должна находиться на пересечении биссектрис углов между этими парами сторон.
5. В общем случае, если четырехугольник выпуклый и у него нет параллельных сторон, то такие пересечения биссектрис существуют и находятся в точке, которая является центром окружности, описанной вокруг четырехугольника.
6. Следовательно, в общем случае существует одна точка* (центральная точка) для заданного четырехугольника, которая одновременно равноудалена от двух пар противоположных сторон.
Ответ:
Точка, которая одновременно равноудалена от двух пар противоположных сторон, находится в центре описанной окружности четырехугольника. Количество таких точек — 1.