Дано:
Пусть основание треугольника обозначим как AB, длина которого равна b. Высота, проведенная к этому основанию, обозначим как h. Рассмотрим треугольник ABC, где C — вершина, находящаяся на высоте h.
Найти:
Показать, что из всех треугольников с данным основанием AB и данной высотой h наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник.
Решение:
1. Обозначим длины сторон треугольника ABC как AC = c и BC = d. Периметр треугольника можно выразить как:
P = AB + AC + BC = b + c + d.
2. По теореме Пифагора, для нахождения длин сторон AC и BC можно использовать координаты. Пусть точка C расположена на высоте h, а точки A и B находятся на одной оси, например, A(0, 0) и B(b, 0). Тогда координаты точки C могут быть (x, h), где 0 < x < b.
3. Длины сторон AC и BC составляют:
AC = √(x² + h²)
BC = √((b - x)² + h²).
4. Периметр можно записать как:
P = b + √(x² + h²) + √((b - x)² + h²).
5. Чтобы минимизировать периметр P, воспользуемся принципом симметрии. Наименьший периметр будет достигаться, когда точки A и B равновдалеки от точки C, то есть когда AC = BC.
6. В этом случае точка C будет находиться на высоте h точно посередине отрезка AB, что делает треугольник равнобедренным.
7. При перемещении точки C в сторону от середины отрезка AB длины сторон AC и BC будут увеличиваться, что приведет к увеличению периметра.
Ответ:
Наименьший периметр имеет равнобедренный треугольник, так как при равновесии сторон AC и BC достигается минимальная сумма длин.