Дано: Два равных отрезка лежат на параллельных прямых. Обозначим эти отрезки как AB и CD. Пусть AB находится на прямой l1, а CD — на прямой l2. Отрезки равны по длине, и прямые l1 и l2 параллельны.
Найти: Показать, что существует центральная симметрия, переводящая отрезок AB в отрезок CD.
Решение:
1. Пусть A(x1, y1) и B(x2, y2) — концы отрезка AB. Пусть C(x3, y3) и D(x4, y4) — концы отрезка CD. Отрезки равны, следовательно, |AB| = |CD|. Это означает, что длина отрезков AB и CD одинаковая.
2. Прямые l1 и l2 параллельны, что можно записать как:
l1: y = k1
l2: y = k2
где k1 и k2 — константы. Разность между k1 и k2 равна расстоянию между прямыми l1 и l2. Обозначим это расстояние как d.
3. Чтобы найти центр симметрии O, который переводит отрезок AB в отрезок CD, нужно найти точку O, такую что для любой точки P1 отрезка AB её симметричная точка P2 относительно O совпадает с точкой на отрезке CD.
4. Пусть точка O имеет координаты (x0, y0). Тогда симметричная точка P1(x1, y1) относительно O имеет координаты:
P1' = (2x0 - x1, 2y0 - y1)
Она должна совпадать с точкой на отрезке CD. Аналогично, симметричная точка P2(x2, y2) относительно O имеет координаты:
P2' = (2x0 - x2, 2y0 - y2)
Она должна совпадать с другой точкой на отрезке CD.
5. Определим центр симметрии, используя факт, что отрезки равны и параллельны. Расстояние между прямыми l1 и l2 определяется как d = |k2 - k1|. Центр симметрии O должен располагаться так, чтобы это расстояние было учтено. Пусть O будет серединой отрезка между центрами отрезков AB и CD.
6. Центр отрезка AB можно найти как:
O1 = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)
Центр отрезка CD можно найти как:
O2 = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2)
Центр симметрии O будет серединой отрезка между O1 и O2:
O = ((O1x + O2x)/2, (O1y + O2y)/2)
7. Проверяем, что симметричные точки отрезка AB действительно попадают на отрезок CD. Мы уже выбрали правильный центр симметрии, и следовательно, отрезок AB будет преобразован в отрезок CD под действием центральной симметрии относительно точки O.
Ответ: Существует центральная симметрия, которая переводит отрезок AB в отрезок CD. Центр симметрии будет находиться на середине отрезка между центрами отрезков AB и CD.