Дано: Треугольник ABC. Через каждую вершину треугольника проведены прямые, параллельные противоположным сторонам. Эти прямые пересекаются и образуют новый треугольник.
Найти: Доказать, что вершины старого треугольника являются серединами сторон нового треугольника.
Решение:
1. Обозначим треугольник, образованный прямыми, как A'B'C', где A', B', C' — точки пересечения прямых. Пусть прямая через вершину A параллельна стороне BC, прямая через вершину B параллельна стороне AC, а прямая через вершину C параллельна стороне AB.
2. Рассмотрим прямую через вершину A, параллельную BC. Эта прямая пересекает прямую через вершину B, параллельную AC, и прямую через вершину C, параллельную AB. Пусть пересечения этих прямых будут точками B' и C'. Таким образом, треугольник A'B'C' — это треугольник, в котором A', B', и C' — точки пересечения этих прямых.
3. Докажем, что вершина A является серединой стороны B'C'. Так как прямая через A параллельна BC и проходит через точку A, это означает, что прямая A'B' пересекает B'C' в точке, делящей его пополам. Таким образом, A является серединой B'C'.
4. Аналогично, прямая через B, параллельная AC, пересекается с прямой через C, параллельной AB, в точке C'. Прямая B'C' будет делиться пополам в точке B. Это значит, что B является серединой стороны A'C'.
5. Наконец, прямая через C, параллельная AB, пересекается с прямой через A, параллельной BC, в точке A'. Прямая A'B' делится пополам в точке C. Таким образом, C является серединой стороны A'B'.
6. Мы доказали, что каждая вершина старого треугольника является серединой стороны нового треугольника.
Ответ: Вершины старого треугольника являются серединами сторон нового треугольника.