Дано: равнобедренный треугольник ABC с AB = AC и произвольная точка P в плоскости треугольника.
Найти: Докажите, что сумма расстояний от точки P до боковых сторон треугольника постоянна.
Решение:
Обозначим расстояния от точки P до сторон AB, BC и CA соответственно как d1, d2 и d3. Нам нужно доказать, что сумма d1 + d2 + d3 постоянна.
Проведем высоту из вершины A треугольника к основанию BC. Обозначим ее как AH. Высота AH делит треугольник на два прямоугольных треугольника: ABH и ACH. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, высота AH также является медианой и биссектрисой. Таким образом, точки H и P определяют прямые линии, перпендикулярные сторонам треугольника.
Для точки P, расстояния от P до сторон AB и AC равны высотам из точки P на эти стороны. Расстояние от P до стороны BC равно высоте из P, проведенной к этой стороне.
Рассмотрим высоту из точки A к стороне BC. Площадь треугольника ABC может быть выражена через эту высоту и длину основания BC как S = 1/2 * BC * AH. Площадь треугольника также может быть выражена через высоты из произвольной точки P: S = 1/2 * AB * d1 = 1/2 * AC * d2 = 1/2 * BC * d3.
Сложим эти уравнения:
AB * d1 + AC * d2 = BC * d3.
Поскольку AB = AC, получаем:
AB * (d1 + d2) = BC * d3.
Так как AB, AC и BC фиксированы, сумма d1 + d2 + d3 остается постоянной для любой точки P внутри треугольника.
Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки P до боковых сторон равнобедренного треугольника постоянна.