Дано:
- Четырехугольник, у которого два противоположных угла равны.
- Диагональ, соединяющая эти два противоположных угла, делит другую диагональ пополам.
Найти:
- Является ли данный четырехугольник параллелограммом.
Решение:
1. Обозначим четырехугольник ABCD, где углы ∠A и ∠C равны. Пусть диагональ AC делит диагональ BD пополам в точке O. То есть AO = CO и BO = DO.
2. Мы знаем, что диагональ AC делит BD пополам. Это означает, что O - середина диагонали BD.
3. Рассмотрим треугольники ∆AOB и ∆COD. В этих треугольниках:
- AO = CO (так как ∠A = ∠C и диагональ AC делит BD пополам),
- BO = DO (так как O - середина BD),
- ∠AOB = ∠COD (так как ∠A = ∠C и соответствующие углы равны по теореме о равенстве противоположных углов).
4. Следовательно, треугольники ∆AOB и ∆COD равны по двум сторонам и углу между ними.
5. Это значит, что AB = CD и AD = BC, а также ∠A = ∠C.
6. Если противоположные углы равны и диагонали пересекаются, то четырехугольник ABCD является параллелограммом. Это связано с тем, что в параллелограмме диагонали делят друг друга пополам.
Ответ:
Да, данный четырехугольник обязательно является параллелограммом.