Дано:
- Четырехугольник ABCD, в котором два противоположных угла прямые, а диагонали перпендикулярны друг другу.
Найти:
- Докажите, что одна из диагоналей делит другую пополам.
Решение:
1. Пусть углы A и C прямые. Это значит, что ABCD - это трапецией, где ABCD – это вписанный в круг прямоугольный четырехугольник.
2. Обозначим диагонали четырехугольника как AC и BD. Так как диагонали перпендикулярны, то ∠AOB = 90°, где O - точка пересечения диагоналей.
3. В прямоугольном четырехугольнике (где два угла равны 90°) диагонали пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
4. Пусть точки пересечения диагоналей обозначены как O. Поскольку в данном четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то с точки зрения геометрии треугольников ∆AOB и ∆COD они являются прямоугольными и равными.
5. Рассмотрим треугольники ∆AOB и ∆COD. Оба треугольника имеют общий угол при точке O и ∠AOB = ∠COD = 90°. Таким образом, треугольники ∆AOB и ∆COD подобны по признаку прямого угла и общего угла.
6. В результате диагонали AC и BD пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами друг друга, то есть одна из диагоналей делит другую пополам.
Ответ:
Одна из диагоналей делит другую пополам.