Дано:
- Четырехугольник ABCD, в котором два противоположных угла прямые.
- Соединяющая их диагональ BD делится пополам другой диагональю AC, то есть точка пересечения диагоналей O является серединой BD.
Найти:
- Докажите, что диагонали AC и BD либо равны, либо перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения диагоналей как O. Из условия известно, что O делит BD пополам. Таким образом, O – середина BD. Следовательно, BO = OD.
2. Углы при вершинах A и C прямые, то есть ∠A и ∠C равны 90°. Это значит, что четырехугольник ABCD можно поместить в окружность и он является вписанным прямоугольным четырехугольником.
3. Рассмотрим треугольники ∆AOB и ∆COD. Так как углы A и C равны 90°, то треугольники ∆AOB и ∆COD являются прямоугольными. Поскольку O – середина BD, BO = OD, и поэтому ∆AOB ≅ ∆COD по критерию гипотенуза и катет.
4. Поскольку треугольники ∆AOB и ∆COD равны, то AO = CO и BO = OD. В результате, AC и BD делятся точкой O, и диагонали пересекаются. В прямоугольных треугольниках равенство катетов и гипотенузы указывает на то, что диагонали пересекаются под прямым углом.
5. Поскольку диагонали AC и BD равны и пересекаются под прямым углом, мы можем сделать вывод, что диагонали либо равны, либо перпендикулярны.
Ответ:
Диагонали AC и BD либо равны, либо перпендикулярны.