Дано:
Пусть ABC — прямоугольный треугольник, где угол A = 30°, угол B = 90°, угол C = 60°. Обозначим длину гипотенузы AC как c, а длину катета AB (противоположного углу 30°) как a.
Найти:
Показать, что катет a равен половине гипотенузы c, то есть a = c / 2.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и 60° соотношения между сторонами следующие:
- Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
- Катет, лежащий против угла 60°, равен (корень из 3) / 2 от гипотенузы.
2. С учетом этого, можем записать:
a = (1/2) * c.
3. Это утверждение можно проверить с помощью тригонометрических функций. Для угла A = 30°:
sin(30°) = противолежащий катет / гипотенуза = a / c.
4. Зная, что sin(30°) = 1/2, подставим в уравнение:
1/2 = a / c.
5. Умножим обе стороны на c:
a = (1/2) * c.
6. Это подтверждает, что катет, лежащий против угла 30°, действительно равен половине гипотенузы.
Ответ:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, в два раза меньше его гипотенузы.