Дано:
Пусть ABC — прямоугольный треугольник, где угол A равен 30°, угол B равен 90°, угол C равен 60°. Обозначим гипотенузу AC как c и катеты AB и BC как a и b соответственно. Пусть гипотенуза AC равна 1.
Найти:
В каком отношении серединный перпендикуляр к гипотенузе AC делит больший катет BC.
Решение:
1. Найдем длины катетов треугольника:
- AB (против угла 30°) = (1/2) * c = (1/2) * 1 = 1/2.
- BC (против угла 60°) = (корень из 3) / 2 * c = (корень из 3) / 2 * 1 = (корень из 3) / 2.
2. Серединный перпендикуляр к гипотенузе делит ее пополам, и его точка пересечения с гипотенузой обозначим как M.
3. Поскольку M — середина гипотенузы AC, длина отрезка AM равна длине отрезка MC и составляет 1/2.
4. Рассмотрим треугольник ABM и треугольник BCM. Они подобны, так как у них общий угол B и равные углы A и C соответственно.
5. Поскольку M находится на гипотенузе, то отрезок BM будет равен (корень из 3) / 2.
6. Теперь найдем отношение AM к BM. Так как AM = 1/2, а BM = (корень из 3) / 2, то имеем:
AM / BM = (1/2) / ((корень из 3) / 2) = 1 / (корень из 3).
Ответ:
Серединный перпендикуляр к гипотенузе делит больший катет в отношении 1 : (корень из 3).