Дано:
- Треугольник ABC.
- Две окружности: одна из них касается боковой стороны AB и продолжений двух других сторон, а вторая окружность касается боковой стороны AC и продолжений двух других сторон.
Найти: показать, что отрезки, отмеченные на рисунке, равны.
Решение:
1. Пусть окружности касаются боковых сторон AB и AC в точках D и E соответственно. Окружности касаются продолжений BC в точках F и G соответственно.
2. Обозначим точки касания первой окружности с боковыми сторонами как D и F, а второй окружности с боковыми сторонами как E и G. Пусть эти окружности касаются продолжений двух других сторон в точках F и G.
3. Мы хотим показать, что отрезки DF и EG равны. Заметим, что DF и EG — это отрезки касательных к двум окружностям, соответственно.
4. Поскольку окружности касаются боковых сторон и их продолжений, они образуют внутренние и внешние касательные отрезки. Эти отрезки равны для окружностей, имеющих одинаковый радиус и расположенных по отношению к сторонам треугольника.
5. Так как обе окружности касаются одной и той же стороны и их касательные равны, отрезки DF и EG, которые являются касательными отрезками, тоже равны.
Ответ:
Отрезки DF и EG равны.