дано:
- треугольник ABC, в который вписана окружность.
- точка касания окружности с стороной BC обозначена как D.
- отрезок AD соединяет точку D с вершиной A и разбивает треугольник ABC на два треугольника: ABD и ACD.
найти:
доказать, что вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются друг друга.
решение:
1. Обозначим радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и ACD как r1 и r2 соответственно.
2. Полупериметры треугольников:
- для треугольника ABD: s1 = (AB + AD + BD) / 2.
- для треугольника ACD: s2 = (AC + AD + CD) / 2.
3. Сумма длин отрезков, касающихся вписанных окружностей:
- для треугольника ABD: длина касательной от точки A к окружности равна s1 - AB.
- для треугольника ACD: длина касательной от точки A к окружности равна s2 - AC.
4. Поскольку AD общая сторона для обоих треугольников, длины касательных от точки A к окружностям будут равны, что означает, что:
s1 - AB = s2 - AC.
5. Это равенство указывает на то, что расстояние от точки A до точек касания вписанных окружностей треугольников ABD и ACD одинаково.
ответ:
вписанные окружности треугольников ABD и ACD касаются друг друга.