дано:
- остроугольный треугольник ABC.
- точка M такая, что ∠AMC + ∠ABC = 180° и ∠AMB + ∠ACB = 180°.
найти:
доказать, что точка M является ортоцентром треугольника ABC.
решение:
1. Поскольку ∠AMC + ∠ABC = 180°, это означает, что точки A, M и B лежат на одной прямой. То есть прямая AM является продолжением стороны BC.
2. Аналогично, из условия ∠AMB + ∠ACB = 180° следует, что точки A, M и C также лежат на одной прямой, и прямая AM является продолжением стороны AB.
3. Таким образом, прямая AM пересекает стороны BC и AB в точке M.
4. В треугольнике ABC, если AM является высотой, то это значит, что угол AMB равен 90° и угол AMC также равен 90°.
5. Поскольку M удовлетворяет условиям для высот, то M является ортоцентром треугольника ABC.
ответ:
точка M является ортоцентром треугольника ABC.