Дано:
Треугольник ABC, где AB = c, AC = b, и BC — сторона, которую делит биссектриса, проведенная из вершины A на сторону BC. Пусть D — точка пересечения биссектрисы с стороной BC.
Найти:
Докажите, что отрезки BD и DC пропорциональны сторонам b и c.
Решение:
1. Обозначим длины отрезков:
- BD = x,
- DC = y.
2. По свойству биссектрисы, она делит угол A на два равных угла. Известно, что угол ABD равен углу ACD.
3. Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Эти треугольники имеют общий угол A и равные углы ADB и ADC, следовательно, они подобны.
4. Из подобия треугольников можно записать пропорциональность их соответствующих сторон:
AB / AC = BD / DC.
5. Подставим обозначения:
c / b = x / y.
6. Перепишем это равенство:
x / y = c / b.
7. Это означает, что отрезки BD и DC пропорциональны длинам сторон AC и AB, соответственно.
Ответ:
Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.