Дано:
Стороны треугольника: a = 3, b = 5.
Медиана, проведенная к третьей стороне c, равна m_c = 2.
Найти:
Площадь треугольника S.
Решение:
1. Используем формулу для медианы:
m_c = (1/2) * √(2a^2 + 2b^2 - c^2).
2. Подставим известные значения в формулу медианы:
2 = (1/2) * √(2*3^2 + 2*5^2 - c^2).
3. Упростим уравнение:
2 = (1/2) * √(2*9 + 2*25 - c^2)
2 = (1/2) * √(18 + 50 - c^2)
2 = (1/2) * √(68 - c^2).
4. Умножим обе стороны на 2:
4 = √(68 - c^2).
5. Возводим обе стороны в квадрат:
16 = 68 - c^2.
6. Приведем уравнение к стандартному виду:
c^2 = 68 - 16,
c^2 = 52.
7. Найдем c:
c = √52 = 2√13.
8. Теперь используем формулу Герона для нахождения площади треугольника:
S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),
где p — полупериметр треугольника.
9. Найдем полупериметр p:
p = (a + b + c) / 2 = (3 + 5 + 2√13) / 2 = 4 + √13.
10. Теперь подставим значения в формулу Герона:
S = √((4 + √13) * (4 + √13 - 3) * (4 + √13 - 5) * (4 + √13 - 2√13)).
11. Упростим выражение:
S = √((4 + √13) * (1 + √13) * (4 - √13) * (4 - √13)).
12. Упрощаем дальше:
S = √((4 + √13) * (4 - √13) * (1 + √13)).
S = √((16 - 13) * (1 + √13)) = √(3 * (1 + √13)).
13. Таким образом, площадь треугольника:
S = √(3 + 3√13).
Ответ:
Площадь треугольника S = √(3 + 3√13).