Дано:
Окружность радиуса R = 1 разбита на 10 равных частей.
Найти:
Сумму квадратов расстояний от произвольной точки P на окружности до всех 10 точек деления.
Решение:
1. Обозначим точки деления окружности как A1, A2, ..., A10. Угловое расстояние между соседними точками:
θ = 2π / 10 = π / 5.
2. Координаты точек на окружности можно записать как:
A_k = (cos(θ(k-1)), sin(θ(k-1))) для k = 1, 2, ..., 10.
3. Пусть произвольная точка P имеет координаты (cos(α), sin(α)), где α — угол, соответствующий точке P.
4. Расстояние от точки P до точки A_k:
d_k = √((cos(α) - cos(θ(k-1)))^2 + (sin(α) - sin(θ(k-1)))^2).
5. Квадрат расстояния:
d_k^2 = (cos(α) - cos(θ(k-1)))^2 + (sin(α) - sin(θ(k-1)))^2.
6. Раскроем скобки:
d_k^2 = (cos^2(α) + cos^2(θ(k-1)) - 2cos(α)cos(θ(k-1))) + (sin^2(α) + sin^2(θ(k-1)) - 2sin(α)sin(θ(k-1))).
7. Используем единичную окружность, где cos^2 + sin^2 = 1:
d_k^2 = 1 + 1 - 2(cos(α)cos(θ(k-1)) + sin(α)sin(θ(k-1))) = 2 - 2cos(α - θ(k-1)).
8. Сумма квадратов расстояний:
S = Σ d_k^2 = Σ (2 - 2cos(α - θ(k-1))) = 10 * 2 - 2Σcos(α - θ(k-1)).
9. Сумма косинусов:
Σcos(α - θ(k-1)) = 0 (так как сумма косинусов равномерно распределённых углов на окружности равна нулю).
10. Таким образом, получаем:
S = 20.
Ответ:
Сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до всех 10 точек деления равна 20.