Дано:
Сторона квадрата a = 1 м, который вписан в окружность.
Найти:
Сторону квадрата b, вписанного в один из сегментов окружности.
Решение:
1. Площадь квадрата со стороной 1:
S1 = a^2 = 1^2 = 1 м².
2. Радиус окружности R, описанной вокруг квадрата:
R = a√2 / 2 = 1√2 / 2 = √2 / 2.
3. Площадь сегмента, образованного квадратом и окружностью, можно найти, используя площадь круга и площадь квадрата.
4. Площадь полного круга:
S_circle = πR^2 = π(1/√2)^2 = π/2.
5. Площадь сегмента:
S_segment = S_circle - S1 = π/2 - 1.
6. Теперь найдем сторону квадрата b, вписанного в сегмент. Он будет касаться окружности и одной стороны квадрата.
7. Из геометрии следует, что сторона квадрата b будет равна высоте сегмента, которую можно выразить через радиус и угол.
8. Площадь квадрата, вписанного в сегмент, будет равна:
S2 = b^2.
9. Площадь сегмента:
S_segment = S2 + S1 - S2.
10. Поскольку квадраты имеют одинаковые стороны, можем записать:
b = R(1 - cos(θ/2)), где θ — угол, соответствующий сегменту.
11. Угол θ для сегмента равен 90° (π/2 радиан):
b = R(1 - cos(π/4)) = R(1 - √2/2).
12. Подставляем R = 1/√2:
b = (1/√2)(1 - √2/2) = (1 - √2/2) / √2 = √2/2 - 1/2.
Ответ:
Сторона квадрата, вписанного в один из сегментов, равна √2/2 - 1/2 м.