Дано:
- Всего 12 человек за круглым столом.
- Каждый рыцарь посадил одинаковое количество пажей между собой и ближайшим рыцарем слева.
- Первый и девятый ответили: "Паж".
- Третий, седьмой, восьмой, десятый, одиннадцатый и двенадцатый ответили: "Рыцарь".
Найти:
- Количество рыцарей за столом.
Решение:
1. Обозначим количество рыцарей как R и количество пажей как P. Поскольку каждый рыцарь посадил одинаковое количество пажей между собой и ближайшим рыцарем слева, это количество будет P.
2. Поскольку рыцари всегда говорят правду, а пажи могут говорить и правду, и ложь, можно использовать их ответы для определения числа рыцарей.
3. Обозначим:
- Вопрос короля о том, кто сидит слева от них.
- Если рыцарь сидит на позиции i, то слева от него находится позиция (i - 1) (в круге).
4. Рыцари на позициях, которые ответили: "Рыцарь" (третий, седьмой, восьмой, десятый, одиннадцатый и двенадцатый) — это верные ответы, если они сами рыцари.
5. Поскольку первый и девятый ответили "Паж", это подтверждает, что на позициях 2 и 10 сидят пажей, если считать, что они окружены рыцарями.
6. Поскольку у всех рыцарей одинаковое число пажей между собой и ближайшим рыцарем слева, найдем сколько пажеев между двумя рыцарями.
7. Пусть каждый рыцарь окружен одинаковым количеством пажей и рыцарей. Если бы у нас было больше рыцарей, то ответы по кругу поменялись бы не так симметрично.
8. Проверим возможные значения для R. Если бы у нас было 6 рыцарей, то между каждым рыцарем было бы 1 паж. В этом случае числа и порядок соблюдаются, так как:
- 6 рыцарей и 6 пажей обеспечивают возможность соответствия с количеством ответов.
9. Проверяем по кругу, если первый и девятый рыцари, то:
- 6 рыцарей: 1 паж между рыцарями.
10. Это удовлетворяет условиям, что 1 и 9 — паж, а остальные ответы: рыцарь.
Ответ:
- Количество рыцарей за столом равно 6.