Дано:
- Ведущий и 30 игроков записывают числа от 1 до 30 в некотором порядке.
- Если у игрока и ведущего на одном и том же месте стоят одинаковые числа, то игрок получает очко.
- Все 30 игроков набрали разное количество очков.
Найти:
- Доказать, что чья-то запись совпала с записью ведущего.
Решение:
1. Пусть ведущий записал числа в некотором порядке. Таким образом, ведущий набрал определённое количество очков. Всего возможных очков для каждого игрока – от 0 до 30 (включительно), так как игрок может совпасть с ведущим по числу на каждом из 30 мест.
2. Так как у 30 игроков количество очков различно, они могут иметь следующие количества очков: 0, 1, 2, ..., 29. В этом случае количество очков у каждого игрока уникально и охватывает все возможные значения от 0 до 29.
3. Теперь посчитаем общее количество различных записей чисел от 1 до 30. В этой задаче мы работаем с перестановками чисел от 1 до 30. Существует 30! (факториал 30) различных способов записать числа от 1 до 30.
4. Если запись игрока совпадает с записью ведущего, то у этого игрока количество очков будет равно 30, потому что все 30 чисел совпадут. Однако, если у всех игроков количество очков различно и это все возможные значения от 0 до 29, то обязательно один из игроков должен получить 29 очков, а это может произойти только в случае полного совпадения записи с записью ведущего (поскольку он может набрать 30 очков).
5. Следовательно, чтобы все 30 различных значений очков были распределены среди игроков, один из них должен набрать максимальное количество очков, равное 30. Это возможно только если один из игроков совпадает с записью ведущего.
Ответ:
Да, среди 30 игроков обязательно найдется такой игрок, запись которого совпала с записью ведущего.