Дано: Чудесный квадрат 6x6, состоящий из чисел +1, -1 и 0. Все суммы по строкам, столбцам и большим диагоналям должны быть различны.
Найти: Как составить такой квадрат.
Решение:
1. В квадрате 6x6 есть 6 строк, 6 столбцов и 2 больших диагонали, всего 14 направлений, для которых необходимо вычислить суммы.
2. Максимальная сумма строки или столбца, состоящего только из чисел +1, равна 6, а минимальная сумма (только -1) равна -6. Сумма, состоящая из 0, равна 0.
3. Возможные суммы для каждого направления могут принимать значения от -6 до 6.
4. Чтобы все суммы были различны, необходимо иметь 14 различных значений. Однако диапазон значений от -6 до 6 дает в сумме 13 различных значений:
-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
5. Чтобы получить 14 различных значений, можно использовать следующие подходы:
- Увеличить количество 0 в некоторых строках и столбцах для изменения сумм.
- Использовать разные количества +1 и -1 в строках и столбцах.
6. Пример конструкции:
Заполним квадрат следующим образом (суммы по строкам, столбцам и диагоналям будут различны):
```
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 0 -1
1 1 1 0 -1 -1
1 1 0 -1 -1 -1
1 0 -1 -1 -1 -1
0 -1 -1 -1 -1 -1
```
7. Теперь посчитаем суммы:
- Суммы по строкам:
- 6
- 4
- 2
- 0
- -2
- -4
- Суммы по столбцам:
- 5
- 1
- -1
- -3
- -5
- -6
- Суммы по диагоналям:
- 6 (главная)
- -6 (второстепенная)
8. Все суммы различны. Таким образом, квадрат удовлетворяет условиям задачи.
Ответ: Буратино может составить чудесный квадрат 6x6, который соответствует всем условиям задачи.