Дано: Таблица n x n, заполненная числами −1, 0, 1.
Найти: Возможно ли заполнить такую таблицу так, чтобы суммы во всех строках, всех столбцах и на главных диагоналях были различны.
Решение: Рассмотрим таблицу размером 3x3. Заполним её числами −1, 0, 1 и проверим условия:
1. Заполним таблицу так:
1 0 -1
-1 1 0
0 -1 1
2. Проверим суммы:
- Суммы строк:
1 + 0 - 1 = 0
-1 + 1 + 0 = 0
0 - 1 + 1 = 0
- Суммы столбцов:
1 - 1 + 0 = 0
0 + 1 - 1 = 0
-1 + 0 + 1 = 0
- Суммы главных диагоналей:
1 + 1 + 1 = 3
-1 + 1 + 0 = 0
Видим, что суммы строк и столбцов равны 0, что нарушает условие о различии сумм.
3. Из примера видно, что для n = 3, заполнить таблицу числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы строк, столбцов и диагоналей были различны, невозможно.
Таким образом, для n = 3 мы не можем создать таблицу, соответствующую условиям задачи. Аналогичные аргументы применимы и к более крупным таблицам, учитывая, что сумма чисел в каждой строке и столбце должна быть различной, что усложняется при увеличении n.
Ответ: Заполнить таблицу n x n числами −1, 0, 1 так, чтобы суммы во всех строках, столбцах и диагоналях были различны, невозможно.