Дано: прямоугольник размером 6x7, в котором закрашены 25 клеток.
Найти: можно ли найти квадрат 2x2, в котором закрашены не менее трех клеток.
Решение:
1. Обозначим размеры прямоугольника как 6 строк и 7 столбцов. Рассмотрим возможные квадраты 2x2 в этом прямоугольнике.
2. В прямоугольнике 6x7 можно разместить квадраты 2x2 следующим образом:
- По вертикали возможные позиции: 6 - 2 + 1 = 5
- По горизонтали возможные позиции: 7 - 2 + 1 = 6
Итак, всего можно разместить 5 * 6 = 30 квадратов 2x2 в этом прямоугольнике.
3. Обозначим количество закрашенных клеток в каждом квадрате 2x2 как X. Если в квадрате 2x2 закрашены не менее трех клеток, то значение X >= 3.
4. Используем принцип Дирихле. Подсчитаем количество закрашенных клеток и квадраты 2x2:
- Всего закрашенных клеток: 25
- Квадратов 2x2: 30
5. Разделим 25 закрашенных клеток между 30 квадратами. Предположим, что в каждом квадрате 2x2 закрашены менее трех клеток. Значит, в каждом квадрате закрашены максимум 2 клетки.
6. Если в каждом из 30 квадратов 2x2 закрашено не более 2 клеток, то общее количество закрашенных клеток может составлять максимум 30 * 2 = 60 клеток. Однако, у нас только 25 закрашенных клеток.
7. Таким образом, распределение в каждом квадрате 2x2 должно быть таким, что, если закрашенных клеток в некоторых квадратов больше 2, то в некоторых квадратов должно быть ровно 2 закрашенные клетки. Для получения 25 закрашенных клеток нужно учитывать, что должно быть хотя бы один квадрат, где закрашены не менее трех клеток, поскольку иначе общее число закрашенных клеток будет недостаточным.
8. Принцип Дирихле говорит нам, что если мы имеем больше "объектов" (закрашенных клеток) чем "коробок" (в данном случае квадраты 2x2, которые могут содержать не более двух закрашенных клеток), то по крайней мере один из "коробок" будет содержать как минимум 3 объекта.
Таким образом, в прямоугольнике 6x7 с 25 закрашенными клетками можно найти хотя бы один квадрат 2x2, в котором закрашены не менее трех клеток.
Ответ: Да, можно найти квадрат 2x2, в котором закрашены не менее трех клеток.