Дано: Клетчатый квадрат 9 на 9, закрашено 19 клеток.
Найти: Либо найдутся две закрашенные клетки, имеющие общую сторону, либо найдется незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкает не менее двух закрашенных клеток.
Решение:
1. Обозначим клетки, в которых стоят закрашенные и незакрашенные клетки. Клетчатый квадрат имеет 81 клетку (9 на 9).
2. Рассмотрим количество закрашенных и незакрашенных клеток: всего 81 - 19 = 62 незакрашенные клетки.
3. Рассмотрим первое утверждение: найдутся ли две закрашенные клетки, имеющие общую сторону. Если предположить, что ни одна пара закрашенных клеток не имеет общих сторон, то закрашенные клетки должны быть размещены таким образом, чтобы они не соприкасались.
4. Поместим каждую закрашенную клетку в собственный 2 на 2 блок, чтобы предотвратить соприкосновение двух закрашенных клеток. Это можно сделать для максимум 4 закрашенных клеток в каждом таком блоке, но это будет справедливо только в случае, если размещать клетки аккуратно, чтобы не нарушить соседство.
5. Однако, у нас есть 19 закрашенных клеток. Используя принцип Дирихле, если мы разместим закрашенные клетки в блоках размером 2 на 2, то хотя бы один блок будет иметь более одной закрашенной клетки. Это значит, что в любом случае две закрашенные клетки будут соседними.
6. Теперь рассмотрим второе утверждение: найдется ли незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкает не менее двух закрашенных клеток.
7. Если две закрашенные клетки не имеют общих сторон, то на каждой незакрашенной клетке может прилегать максимум одна закрашенная клетка. Поскольку таких клеток (неприлегающих) достаточно много (62 незакрашенные), это также указывает на то, что должны быть такие клетки, к которым примыкает более одной закрашенной.
8. В конечном итоге, по принципу Дирихле, в любом случае, либо найдутся две закрашенные клетки с общей стороной, либо найдется незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкает не менее двух закрашенных клеток.
Ответ: Либо найдутся две закрашенные клетки, имеющие общую сторону, либо найдется незакрашенная клетка, к сторонам которой примыкает не менее двух закрашенных клеток.