Дано: прямая окрашена в два цвета. Необходимо доказать, что на ней найдутся три точки A, B, C одного цвета, где B — середина отрезка AC.
Решение:
1. Поскольку прямая окрашена в два цвета, пусть точки окрашены в два цвета, например, красный и синий.
2. Рассмотрим любой отрезок на прямой, который соединяет две точки одного цвета. Пусть этот отрезок соединяет точки P и Q одного цвета. Разделим этот отрезок на две части: точки на прямой между P и Q могут быть разного цвета.
3. Если на отрезке между P и Q есть точка другого цвета, то можем разделить отрезок P-Q на два подотрезка.
4. В применении к нашему случаю, если у нас есть точки P, Q одного цвета и точка B другого цвета, и точка B лежит на отрезке P-Q, то точки P и Q и точка B образуют требуемую тройку, где B является серединой отрезка PQ.
5. Таким образом, в любом раскрашивании прямой найдутся три точки A, B, C одного цвета, где B — середина отрезка AC.
Ответ: Да, на прямой найдутся три точки A, B, C одного цвета, такие что B — середина отрезка AC.