Дано:
1. Пусть n – общее количество туристов.
2. Каждый турист может быть знаком с некоторыми другими туристами.
Найти:
1. Число туристов, знакомых с нечётным количеством других туристов.
Решение:
1. Рассмотрим граф, где вершины представляют туристов, а рёбра – знакомства между ними. Степень вершины (число рёбер, соединяющих её) равна количеству знакомых туристов.
2. В графе сумма степеней всех вершин равна удвоенному количеству рёбер, так как каждое знакомство считается дважды.
3. Обозначим количество туристов, знакомых с нечётным количеством других, как k. Обозначим количество туристов, знакомых с чётным количеством других, как m. Таким образом, n = k + m.
4. Сумма степеней всех вершин (S) может быть разделена на две части: сумма степеней туристов с нечётным числом знакомых и с чётным.
5. Сумма степеней туристов с нечётным количеством знакомых всегда нечётна (так как сумма нечётных чисел даёт нечётное число). А сумма степеней туристов с чётным количеством знакомых всегда чётна.
6. Таким образом, S = нечетная + четная = нечетная, что приводит к противоречию, так как S = 2E (E – количество рёбер) всегда четно.
7. Следовательно, количество туристов с нечётным количеством знакомых (k) должно быть чётным.
Ответ:
Число туристов, знакомых с нечётным количеством других туристов, чётное.