Дано: граф G, для любых трех его вершин A, B и C три цепи, попарно связывающие эти вершины, проходят через общую вершину.
Найти: доказать, что граф G является деревом.
Решение:
1. Напомним определение дерева: это связный ациклический граф.
2. Рассмотрим любые три вершины A, B и C в графе G. По условию, существует общая вершина V, через которую проходят цепи P(A, B), P(B, C) и P(A, C).
3. Поскольку каждая пара вершин A, B, C соединена через общую вершину V, это указывает на то, что между любой парой вершин можно провести цепь.
4. Теперь предположим, что граф G содержит цикл. В этом случае можно выбрать три вершины A, B и C так, что они образуют треугольник, и в таком треугольнике цепи P(A, B), P(B, C) и P(A, C) не могут проходить через одну и ту же вершину, что противоречит условию.
5. Таким образом, граф G не может содержать циклов и является ацикличным.
6. Также, так как G соединен и не содержит циклов, то G является связным.
Ответ: граф G является деревом, так как он ацикличен и связан.