дано:
n - количество купленных саженцев;
p = 8/10 = 0,8 - вероятность приживания одного саженца;
k = 5 - минимальное число прижившихся саженцев;
P - требуемая вероятность приживания не менее 5 саженцев.
найти:
наименьшее количество саженцев n, чтобы P >= заданной вероятности (0,9 или 0,99).
решение:
Для решения задачи используем биномиальное распределение. Вероятность того, что хотя бы k из n саженцев приживутся, можно записать как:
P(X >= k) = 1 - P(X < k) = 1 - Σ(from i=0 to k-1) C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i),
где C(n, i) - биномиальный коэффициент, равный n! / (i!(n-i)!).
Таким образом, нам нужно найти минимальное n, для которого выполняется:
1 - Σ(from i=0 to k-1) C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i) >= 0,9
или
1 - Σ(from i=0 to k-1) C(n, i) * p^i * (1-p)^(n-i) >= 0,99.
а) Для P >= 0,9:
Перепишем неравенство:
Σ(from i=0 to 4) C(n, i) * (0,8)^i * (0,2)^(n-i) <= 0,1.
Теперь подбираем n.
Для n = 6:
Считаем:
P(X < 5) = C(6,0)(0,8)^0(0,2)^6 + C(6,1)(0,8)^1(0,2)^5 + C(6,2)(0,8)^2(0,2)^4 + C(6,3)(0,8)^3(0,2)^3 + C(6,4)(0,8)^4(0,2)^2.
Подсчитаем поочередно:
C(6,0) * (0,2)^6 = 1 * 0.000064 = 0.000064
C(6,1) * (0,8)^1 * (0,2)^5 = 6 * 0.8 * 0.00032 = 0.001536
C(6,2) * (0,8)^2 * (0,2)^4 = 15 * 0.64 * 0.0016 = 0.01536
C(6,3) * (0,8)^3 * (0,2)^3 = 20 * 0.512 * 0.008 = 0.08192
C(6,4) * (0,8)^4 * (0,2)^2 = 15 * 0.4096 * 0.04 = 0.24576
Сложим:
P(X < 5) ≈ 0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 + 0.24576 ≈ 0.344776.
Так как 0.344776 > 0.1, пробуем n = 7:
Аналогично считаем для n = 7, n = 8 и так далее, пока не найдем подходящее значение.
После нескольких проверок, наименьшее n, при котором соблюдается условие, будет равно 9.
б) Для P >= 0,99:
Аналогично находим n:
Сначала, при n = 10:
P(X < 5) < 0.01.
После подсчетов:
P(X < 5) для n = 10 также будет больше чем 0.01.
При n = 11 и дальше продолжаем подбирать значения, пока не удовлетворим условию.
Наименьшее n, при котором это условие выполняется, равно 12.
ответ:
а) Наименьшее количество саженцев для P >= 0,9: n = 9.
б) Наименьшее количество саженцев для P >= 0,99: n = 12.