Дано:
- Квадрат ABCD со стороной длиной L.
- Случайно выбирается точка X внутри квадрата ABCD.
- Точка M на стороне BC.
Найти:
а) Вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, если точка M является серединой стороны BC.
б) Вероятность того, что точка X принадлежит трапеции AMCD, если точка M делит отрезок BC в отношении t : p, считая от точки B.
Решение:
а) Если точка M является серединой стороны BC, то координаты точек квадрата можно задать следующим образом:
A(0, 0), B(L, 0), C(L, L), D(0, L).
Точка M будет иметь координаты M(L, L/2).
Трапеция AMCD включает в себя треугольник AMD и прямоугольник MCD.
1. Найдем площадь треугольника AMD.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
площадь AMD = (1/2) * основание * высота.
Здесь основание AD = L, а высота из точки M к основанию AD равна L/2. Таким образом:
площадь AMD = (1/2) * L * (L/2) = (L^2) / 4.
2. Площадь прямоугольника MCD:
ширина MC = L - L = 0,
высота MD = L/2.
Площадь MCD = ширина * высота = L * (L/2) = (L^2) / 2.
3. Теперь найдем общую площадь трапеции AMCD:
площадь AMCD = площадь AMD + площадь MCD = (L^2) / 4 + (L^2) / 2 = (L^2) / 4 + (2L^2) / 4 = (3L^2) / 4.
Теперь найдем вероятность того, что случайно выбранная точка X принадлежит трапеции AMCD. Площадь всего квадрата ABCD равна:
площадь ABCD = L^2.
Вероятность P(X принадлежит AMCD) = площадь AMCD / площадь ABCD = ((3L^2) / 4) / L^2 = 3/4.
Ответ:
а) Вероятность P(X принадлежит AMCD) = 3/4.
б) Если точка M делит отрезок BC в отношении t : p, то длины отрезков BM и MC будут:
BM = (t / (t + p)) * L,
MC = (p / (t + p)) * L.
Точка M будет иметь координаты M(L, (t / (t + p)) * L).
Теперь найдем площадь трапеции AMCD. Площадь треугольника AMD:
площадь AMD = (1/2) * L * ((t / (t + p)) * L) = (t * L^2) / (2 * (t + p)).
Площадь прямоугольника MCD остается прежней:
площадь MCD = L * (L - (t / (t + p)) * L) = L * ((p / (t + p)) * L) = (p * L^2) / (t + p).
Общая площадь трапеции AMCD:
площадь AMCD = площадь AMD + площадь MCD = ((t * L^2) / (2 * (t + p))) + ((p * L^2) / (t + p)).
Приведем к общему знаменателю:
площадь AMCD = (t * L^2) / (2 * (t + p)) + (2p * L^2) / (2 * (t + p)) = ((t + 2p) * L^2) / (2 * (t + p)).
Вероятность P(X принадлежит AMCD):
P(X принадлежит AMCD) = площадь AMCD / площадь ABCD = (((t + 2p) * L^2) / (2 * (t + p))) / L^2 = (t + 2p) / (2 * (t + p)).
Ответ:
б) Вероятность P(X принадлежит AMCD) = (t + 2p) / (2 * (t + p)).