Дано:
- Вероятность выпадения орла при одном броске монеты: p = 0,5
- Вероятность выпадения решки при одном броске монеты: q = 0,5
Найти: математическое ожидание числа бросков до тех пор, пока хотя бы раз не выпадет решка и хотя бы раз не выпадет орёл.
Решение:
Для решения этой задачи удобно разбить событие на две части:
1. Сначала мы можем получить орла, а затем решку.
2. Либо сначала мы можем получить решку, а потом орла.
События могут происходить в следующем порядке:
1. Получаем первую решку (вероятность q), затем продолжаем бросать до получения первого орла.
2. Получаем первого орла (вероятность p), затем продолжаем бросать до получения первой решки.
Обозначим математическое ожидание количества бросков как E. Можно записать следующее уравнение для E:
E = p * (1 + E(R)) + q * (1 + E(H))
Где E(R) — среднее количество бросков, чтобы получить решку, после того как уже получили орла, и E(H) — среднее количество бросков, чтобы получить орла, после того как уже получили решку.
Так как в каждом из случаев вероятность повторного результата остается равной вероятности выпадения каждой стороны, можно заметить, что E(R) = E(H) = E. Таким образом, у нас получается:
E = p * (1 + E) + q * (1 + E)
Подставим значения p и q:
E = (0,5) * (1 + E) + (0,5) * (1 + E)
Раскроем скобки:
E = 0,5 + 0,5E + 0,5 + 0,5E
E = 1 + E
Теперь нам нужно решить это уравнение для E:
E - E = 1
0 = 1 (что невозможно)
Здесь мы допустили ошибку в предпосылках о зависимостях.
Учитывая, что мы бросаем монету до тех пор, пока не получим обе стороны, давайте рассмотрим другой подход.
На самом деле, когда мы бросаем монету, нам нужно получить хотя бы один результат с каждой стороны. Это означает, что мы можем использовать формулу для ожидания, связанного со случайными процессами.
Математическое ожидание полного процесса может быть рассчитано как сумма ожиданий двух независимых геометрических распределений (по одному для каждого результата).
Что касается математического ожидания для геометрического распределения, оно равно 1/p, где p — вероятность успеха.
1. Ожидаемое количество бросков для получения первой решки: E(R) = 1/q = 1/(0,5) = 2
2. Ожидаемое количество бросков для получения первого орла: E(O) = 1/p = 1/(0,5) = 2
В итоге общее математическое ожидание будет равным сумме двух ожиданий:
E = E(R) + E(O) = 2 + 2 = 4
Ответ:
Математическое ожидание числа бросков до получения хотя бы одной решки и одного орла составляет 4.