дано:
- Двузначное число обозначим как 10A + B, где A - цифра десятков, а B - цифра единиц.
- Цифра десятков на 5 больше цифры единиц: A = B + 5.
- Если разделить число на произведение его цифр, то в частном получится 5, а в остатке — 2: (10A + B) / (A * B) = 5 с остатком 2.
найти:
Какое двузначное число задумал Виталий?
решение:
Сначала подставим значение A из первого уравнения во второе уравнение:
1. Из A = B + 5 следует, что A может принимать значения от 5 до 9 (так как B должна быть неотрицательной и однозначной).
2. Подставляем A в выражение для числа:
10A + B = 10(B + 5) + B = 10B + 50 + B = 11B + 50.
Теперь подставим это в условие деления:
(11B + 50) / (A * B) = 5 с остатком 2.
Это означает, что:
11B + 50 = 5(A * B) + 2.
Подставим A = B + 5:
11B + 50 = 5((B + 5) * B) + 2
11B + 50 = 5(B^2 + 5B) + 2
11B + 50 = 5B^2 + 25B + 2.
Перепишем уравнение:
0 = 5B^2 + 25B + 2 - 50 - 11B
0 = 5B^2 + 14B - 48.
Теперь решим квадратное уравнение 5B^2 + 14B - 48 = 0 с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 5 * (-48)
D = 196 + 960
D = 1156.
Теперь найдем корни уравнения:
B = (-b ± sqrt(D)) / (2a)
B = (-14 ± sqrt(1156)) / (2 * 5)
B = (-14 ± 34) / 10.
Находим два возможных значения B:
1. B1 = (20) / 10 = 2.
2. B2 = (-48) / 10 = -4.8 (не подходит, так как B - естественное число).
Теперь подставим B = 2 обратно для нахождения A:
A = B + 5 = 2 + 5 = 7.
Таким образом, задуманное число:
10A + B = 10 * 7 + 2 = 70 + 2 = 72.
ответ:
Задуманное Виталием двузначное число равно 72.