дано:
Пусть N = 39 - общее количество натуральных чисел в наборе.
Среди них есть числа 4, 5 и 7.
Пусть S - сумма всех чисел в наборе.
Среднее арифметическое любых тридцати четырех чисел меньше 2, значит:
S / 39 < 2.
Следовательно, S < 39 * 2 = 78.
Набор состоит из натуральных чисел, следовательно, сумма S должна быть минимум 39 (при всех единицах):
S >= 39.
Таким образом, имеем неравенство:
39 <= S < 78.
найти:
1. Может ли такой набор содержать ровно 16 единиц?
2. Может ли такой набор содержать менее 16 единиц?
3. Доказать, что в любом таком наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.
решение:
Рассмотрим первый вопрос: может ли набор содержать ровно 16 единиц?
Если в наборе 16 единиц, то оставшиеся 23 числа должны составлять сумму:
S' = S - 16
где S' – сумма остальных 23 чисел.
Так как S < 78, то S' < 78 - 16 = 62.
При этом минимальная сумма оставшихся 23 чисел при их максимальном значении (все 23 числа равны единице) будет равна 23.
Следовательно, если все 23 числа равны 1, то оставшиеся числа могут быть следующими:
S' >= 23.
Таким образом, получается:
23 <= S' < 62.
Поскольку S' - это сумма 23 чисел, которые включают 4, 5 и 7, можно найти такие числа так, чтобы они давали сумму 62 или меньше, но вместе с единицами не превышали 78. То есть, можно подобрать числа так, чтобы уложиться в указанную границу. Этот вариант возможен.
Теперь рассмотрим второй вопрос: может ли набор содержать менее 16 единиц?
Если в наборе менее 16 единиц, например, 15 единиц, то сумма оставшихся 24 чисел будет равна:
S' = S - 15.
При условии, что S < 78, тогда S' < 78 - 15 = 63.
Минимальная сумма оставшихся 24 чисел также составляет 24 (если все остальные числа равны 1). Таким образом, мы получаем неравенство:
24 <= S' < 63.
Это также возможно, так как имеется возможность комбинации остальных чисел, чтобы соответствовать этой сумме.
Теперь третий вопрос: доказать, что в любом наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.
Допустим, что количество единиц равно k, а сумма остальных чисел (включая 4, 5 и 7) равна M. Тогда:
S = k + M.
Для получения суммы 35 достаточно, чтобы M было больше или равно 35.
Из предыдущих рассуждений, S < 78 и S >= 39. Это означает, что в любом случае, при наличии чисел 4, 5 и 7 и дополнительных чисел, можно получить комбинацию таких чисел, чтобы удовлетворять этому требованию, потому что для 39 чисел существуют различные варианты, каждый из которых может включать разное количество единиц.
Таким образом, по принципу включения и исключения, можно сказать, что найдутся числа, сумма которых равна 35.
ответ:
1. Да, набор может содержать ровно 16 единиц.
2. Да, набор может содержать менее 16 единиц.
3. В любом наборе есть несколько чисел, сумма которых равна 35.