Question

Гидролог вводит в компьютер измерения температуры забортной воды. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса, для целых значений после запятой ставится нуль. За время наблюдений температура была выше 10 °С, но ниже 17 °С. Всего гидролог ввёл 32 измерения. Из-за усталости, качки судна и плохой клавиатуры один раз вместо запятой при вводе показаний он нажал клавишу «0», а в другой раз вообще пропустил запятую. После упорядочивания данных по возрастанию получился ряд из 32 чисел, начинающийся числами 12,2; 12,8... Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся чисел будет равно 68,8, а если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся будет равно 13,7. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил гидролог.

Answer 1

дано:  
Температура забортной воды измерялась с точностью до одной десятой градуса, значения находились в диапазоне от 10 °C до 17 °C. Всего было введено 32 измерения. Гидролог допустил две ошибки при вводе данных: одна ошибка - это замена запятой на ноль, а другая - пропуск запятой. После упорядочивания получился ряд, начинающийся числами 12,2; 12,8 и так далее.

Известно:
1. Среднее арифметическое оставшихся чисел после удаления двух первых равно 13,7.
2. Среднее арифметическое оставшихся чисел после удаления двух последних равно 68,8.

найти:  
Определить, какие значения были введены неправильно и какое количество этих значений.

решение:  
Обозначим все введенные значения как x1, x2, ..., x32. Поскольку нам известны два случая средних арифметических:

1. Удаляем два первых значения:
   Пусть S - сумма всех 32 значений. Тогда:
   (S - x1 - x2) / 30 = 13,7
   Отсюда:
   S - x1 - x2 = 30 * 13,7
   S - x1 - x2 = 411

2. Удаляем два последних значения:
   (S - x31 - x32) / 30 = 68,8
   Отсюда:
   S - x31 - x32 = 30 * 68,8
   S - x31 - x32 = 2064

Теперь у нас есть две системы уравнений:
1) S - x1 - x2 = 411  (1)
2) S - x31 - x32 = 2064 (2)

Вычтем (1) из (2):
(x1 + x2) - (x31 + x32) = 2064 - 411
x1 + x2 - x31 - x32 = 1653  (3)

Согласно условию, все значения температуры находятся в диапазоне от 10 °C до 17 °C. Теперь мы знаем, что произошли две ошибки. Давайте предположим, что xk - это значение, где гидролог ошибся, заменив запятую на 0. Для второго случая, когда он пропустил запятую, давайте обозначим это значение как xm.

При этом xk должно быть в диапазоне от 100 до 170, но физически эти значения не могут быть реальными температурами. Следовательно, они должны быть исправлены обратно, чтобы вписаться в интервал.

Используя уравнение (3), можем перемещать значения в рамках температурного диапазона, чтобы соответствовать оставшимся параметрам.

Заметим, что если одно значение было введено неправильно как "0" вместо запятой, то его значение будет сильно искажено. Поэтому попробуем представить, что:

xk = a.b (должно быть) и а0b (введено неправильно);
xm = c.d (должно быть) и cd (введено без запятой).

Таким образом, данное уравнение можно решить, подставляя возможные значения в утверждения.

Оценив, что 16/32 * 100 = 50 % (половина), рассматриваем значения от 10 до 17, которые удовлетворяют условиям:
- 12,2, 12,8, 15,0, 14,5 и т.д.

Рассмотрим конкретные значения для x1, x2, x31, x32, и найдем такие, которые могут быть заменены или потеряны.

Попробуем значения:
x1 = 12,2; x2 = 12,8
x31 → возможно, 17,0; x32 → 16,9

Эти числа в итоге позволят нам провести анализ. Если указанные выше значения будут исправлены, то весь ряд будет выглядеть корректно.

ответ:  
Гидролог допустил ошибку, заменив запятую на ноль в одном из значений, например, 11,0 стал 110,0, и пропустил запятую в другом значении, например, 12,3 стал 123. Эти ошибки повлияли на результаты измерений, изменив средние арифметические.