дано:
- треугольник ABC,
- M - точка на стороне AB,
- N - точка на стороне AC,
- MN - отрезок, соединяющий точки M и N.
найти: доказать, что биссектрису угла C делит отрезок MN пополам.
решение:
1. Пусть D - точка пересечения биссектрисы угла C с отрезком MN.
2. По определению биссектрисы, она делит угол C на два равных угла:
угол ACD = угол BCD.
3. Рассмотрим треугольники AMC и BNC.
В этих треугольниках:
- угол AMC = угол BNC (поскольку оба угла дополняют угол C),
- угол ACD = угол BCD (по определению биссектрисы).
4. Это означает, что треугольники AMC и BNC подобны по двум углам (AA):
AMC ~ BNC.
5. Следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны:
AM / BN = MC / NC.
6. Обозначим длины отрезков:
AM = a,
MB = b,
AN = c,
NC = d.
7. Тогда по свойству подобных треугольников:
a / d = b / c.
8. Поскольку MN - отрезок, который соединяет M и N, получаем:
MN = AM + AN = a + c.
9. Теперь рассмотрим промежуточные отрезки:
Длина отрезка MD = a/2,
Длина отрезка ND = c/2.
10. Мы можем сказать, что если MN пересекает биссектрису в точке D, то:
MD + DN = a/2 + c/2 = (a + c) / 2 = MN / 2.
11. Таким образом, мы показали, что отрезок MN делит биссектрису угла C пополам.
ответ:
Биссектрису угла C действительно делит отрезок MN пополам.