дано:
- треугольник ABC,
- P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC,
- A, B, C — вершины треугольника.
найти: отношение AP : PN.
решение:
1. Известно, что точка P является центром вписанной окружности треугольника ABC, следовательно, она находится на пересечении биссектрис углов A, B и C.
2. Обозначим стороны треугольника:
- AB = c,
- BC = a,
- AC = b.
3. По теореме о делении биссектрисой, расстояние от вершины к точке касания (вписанной окружности) пропорционально длине противоположной стороны.
Для точки P, которая делит сторону в отношении длин сторон, справедливо следующее соотношение:
AP / PN = AB / AC = c / b.
4. Таким образом, если обозначить AP = k * c и PN = k * b для некоторого коэффициента k, получаем:
AP / PN = c / b.
5. Это означает, что отношение AP : PN равно:
AP : PN = AB : AC.
ответ:
Отношение AP : PN равно AB : AC.